Wstęp do liczb zespolonych, Cz. 1

Spis rzeczy

• Wstęp


• Sprzężenie


• Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej


• Iloczyn samosprzężony


• Wzór Pitagorasa dla liczb zespolonych


• Dzielenie liczb zespolonych


• Moduł liczby zespolonej


• Nierówność trójkąta

WSTĘP

Niniejsza Część 1 jest kontynuacją Części 0, w której wprowadziłem - w stylu Gaussa - liczby zespolone, wraz z ich dodawaniem, odejmowaniem i mnożeniem. Poniżej omówione będzie pojęcie modułu (normy, wartości absolutnej) liczby zespolonej oraz operacja dzielenia liczb zespolonych.

Sprzężenie

W kontekście liczb zespolonych, sprzężeniem nazywamy symetrię płaszczyzny zespolonej wokół osi (zespolonych) liczb rzeczywistych [;t\cdot\mathbf 1;]. Formalnie, sprzężeniem  [;\bar z;]  liczby zespolonej  [;z := (a\ b);]  nazywamy liczbę:

[;(I)\qquad\qquad \bar z\ :=\ (a\,\ -\!b);]

Zespolone liczby rzeczywiste przechodzą przy sprzężeniu na siebie, a liczby urojone na przeciwne (są wymnażane przez -1):

• [;z;]  jest rzeczywiste  [;\Leftrightarrow\quad \bar z = z;];


• [;z;]  jest urojone  [;\Leftrightarrow\quad \bar z = -z;];

Sprzężenie jest inwolucją czyli ma własność:

        [;\bar{\bar z} = z;]

dla dowolnej liczby zespolonej  [;z;] - dwukrotne zastosowanie sprzężenia daje tożsamość czyli za wartość daje argument wyjściowy. Co więcej, liczba zespolona i jej sprzężenie są nierozróżnialne jak jednojajowe bliźniaki (tyle, że jeden jest prawo-, a drugi leworęczny), bowiem sprzężenie jest automorfizmem względem operacji arytmetycznych:

• [;\overline{v+w} = \bar v + \bar w;]


• [;\overline{v-w} = \bar v - \bar w;]


• [;\overline{-z} = -\bar z;]


• [;\overline{v\cdot w} = \bar v \cdot \bar w;]


• [;\overline{t\cdot z} = t\cdot \bar z;]
  

dla dowolnych liczb zespolonych  [;v\ w\ z\in\mathbf C;]  oraz  [;t\in\mathbf R;].  Wynika stąd, że dla dowolnego wielomianu  [;f;],  o współczynnikach zespolonych, zachodzi podobna równość:

        [;\overline{f(z)} = f(\bar z);]

dla dowolnej liczby zespolonej  [;z;];  w szczególności:

        [;\overline{z^2} = \bar z ^2;]

Część rzeczywista i część urojona liczby zespolonej

Niech  [;z:=(a\ b) = a+b\cdot\mathbf i;]  będzie liczbą zespoloną, gdzie  [;a\ b\in\mathbf R;]  są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy definiujemy część rzeczywistą  [;\rho(z);]  oraz  część urojoną  [;\iota(z);]  jak następuje:

• [;\rho(z) := a;]


• [;\iota(z) := b;]

Zatem:

• [;z = (\rho(z)\,\ \iota(z)) = \rho(z) + \iota(z)\cdot\mathbf i;]


• [;\bar z = (\rho(z)\,\ -\!\iota(z)) = \rho(z) - \iota(z)\cdot\mathbf i;]


• [;\rho(z) = \frac{z+\bar z}{2};]


• [;\iota(z) = \frac{z-\bar z}{2};]

Ostatnie dwa wzory oraz własności sprzężenia dają:

• [;\rho(v+w) = \rho(v)+\rho(w);]


• [;\rho(t\cdot z) = t\cdot\rho(z);]


• [;\iota(v+w) = \iota(v)+\iota(w);]


• [;\iota(t\cdot z) = t\cdot\iota(z);]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;v\ w\ z\in\mathbf C;]  oraz rzeczywistego  [;t\in\mathbf R;].  Ponadto:

• [;\rho(\mathbf i\cdot z) = -\iota(z);]


• [;\iota(\mathbf i\cdot z) = \rho(z);]

dla dowolnego zespolonego  [;z;].

Iloczyn samosprzężony

Niech  [;z;]  oznacza dowolną liczbę zespoloną. Zajmijmy się iloczynem

        [;M(z) := z\cdot\bar z;]

Jest jasnym, że

        [;\overline{M(z)} = M(\bar z) = M(z);]

Z tego powodu nazywam    iloczynem samosprzężonym.

Policzmy  [;M(z);]  dla  [;z:=(a\ b);],  gdzie  [;a\ b\in\mathbf R;]  są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Wtedy:

        [;M(z) = (a^2+b^2\quad 0);]

Utożsamiając zespolone liczby rzeczywiste  [;(x\ 0);]  z odpowiadającymi im liczbami rzeczywistymi  [;x\in\mathbf R;],  możemy powiedzieć, że iloczyn samosprzężony jest zawsze nieujemną liczbą rzeczywistą. Jednak dla spokoju ducha i pedantycznej ścisłości wprowadźmy:

        [;\mathit M(z) := \rho(M(z));]

gdzie po lewej "M" napisane jest kursywą (nie szkodzi, że trudno to nowe "M" odróżnić od starego, nic strasznego się od tego nie stanie). Wtedy, już bez obaw, możemy napisać:

        [;\mathit M(z) \ge 0;]

przy czym

        [;\mathit M(z) = 0\quad\Leftrightarrow\quad z=\mathbf 0;]

co ma miejsce tylko dla  [;a=b=0;].

Jest oczywistym, prosto z definicji iloczynu samosprzężonego, że jest on multiplikatywny:

[;(II)\qquad\qquad M(w\cdot z) = M(w)\cdot M(z);]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;w\ z\in\mathbf C;]. Dla  [;w:= (a\ b);]  oraz  [;z:=(c\ d);],  własność multiplikatywna tłumaczy się na tożsamość Fermata dla liczb rzeczywistych  [;a\ b\ c\ d\in\mathbf R;]:

        [;(a^2+b^2)\cdot(c^2+d^2) = (a\cdot c - b\cdot d)^2 + (a\cdot d + b\cdot c)^2;]

Można tę tożsamość dowieść mechanicznie wprost, bez wprowadzania liczb zespolonych, ale łatwiej w kontekście zespolonym. Co ważniejsze, tożsamość ta nabiera pewnego podstawowego znaczenia dzięki liczbom zespolonym, zamiast być błyskotliwym dziwolągiem nie wiadomo skąd.

PRZYKŁAD 0   Ponieważ:

        [;5 = 1^2 + 2^2 = 2^2+1^2;]
        [;13=2^2+3^2;]

to na mocy równości Fermata:

        [;5\cdot 13 = 4^2 + 7^2 = 1^2 + 8^2;]

KONIEC PRZYKŁADU

Zachodzi także własność multiplikatywna dla iloczynu liczby zespolonej  [;z;]  przez rzeczywistą  [;t;]:

[;(III)\qquad\qquad M(t\cdot z) = t^2\cdot M(z);]

co z łatwością można dowieść wprost; można też wprowadzić zespoloną liczbę rzeczywistą  [;\tau := (t\ 0);],  tak że  [;t = \rho(\tau);]  (oraz  [;\iota(\tau) = 0;]. Wtedy  [;M(\tau)=t^2;]. Stąd już [;(III);] wynika z [;(II);].

Wzór Pitagorasa dla liczb zespolonych

Niech  [;z\in\mathbf C;]  oraz  [;s\ t\in\mathbf R;].  Zdefiniujmy: [;v := s\cdot z;]  oraz  [;w:=t\cdot\mathbf i\cdot z;].  Zachodzi wtedy następująca wersja wzoru Pitagorasa:

        [;M(v)+M(w) = M(v+w) = M(v-w);]

Oznacza to, że kąty  [;v\mathbf 0w;]  oraz  [;v\mathbf 0(-w);]  są proste. Więcej o tym będzie poniżej, w sekcji Moduł liczby zespolonej.

Dzielenie liczb zespolonych

Niech  [;w\ z\in\mathbf C;]  będą dwoma dowolnymi liczbami zespolonymi, przy czym  [;w\ne\mathbf 0;]. Wtedy wiemy jak mnożyć liczby zespolone przez  [;\frac{1}{\mathit M(w)};],  gdyż ta ostatnia liczba jest dodatnią liczbą rzeczywistą. Dzięki temu iloraz  [;\frac{z}{w};]  możemy zdefiniować jak następuje:

        [;\frac{z}{w} := \frac{1}{\mathit M(w)}\cdot z\cdot\bar w;]

Zdefiniowaliśmy w ten sposób to, co w sensie powszechnym zasługuje na nazwę iloraz, gdyż zachodzi twierdzenie:

[;(II)\qquad\qquad \frac{z}{w}\cdot w = z;]

DOWÓD

    [;\frac{z}{w}\cdot w = \frac{1}{\mathit M(w)}\cdot z\cdot\bar w \cdot w
= \frac{1}{\mathit M(w)}\cdot z\cdot M(z) = z;]

KONIEC DOWODU

Moduł liczby zespolonej

Skoro iloczyn samosprzężony  [;\mathit M(z);]  jest nieujemną liczbą rzeczywistą, to dopuszcza arytmetyczny pierwiastek kwadratowy

        [;|z| := \surd\mathit M(z);]

zwany modułem albo normą albo wartością bezwzględną liczby zespolonej  [;z;]. Jest to euklidesowa odległość punktu  [;z;]  od  [;\mathbf 0;]:  gdy  [;z:=(a\ b);],  to

        [;|z| := \surd(a^2+b^2);]

Oczywiście:

        [;\mathit M(z) = |z|^2;]

Na moduł przenoszą się następująco odpowiednie własności iloczynu samosprzężonego:

• [;|v\cdot w| = |v|\cdot |w|;]


• [;|t\cdot z| = |t|\cdot |z|;]

dla dowolnych zespolonych  [;v\ w\ z\in\mathbf C;]  oraz rzeczywistego  [;t\in\mathbf R;].

Możemy obecnie wzór Pitagorasa dla liczb zespolonych zapisać w postaci bardziej tradycyjnej. Jak poprzednio, niech  [;z\in\mathbf C;]  oraz  [;s\ t\in\mathbf R;].  Zdefiniujmy: [;v := s\cdot z;]  oraz  [;w:=t\cdot\mathbf i\cdot z;].  Zachodzi wtedy następująca wersja wzoru Pitagorasa:

        [;|v|^2+|w|^2 = |v+w|^2 = |v-w|^2;]

Nierówność trójkąta

Z geometrii euklidesowej (kartezjańskiej) wiemy, że

        [;||v|-|w||\ \le\ |v+w|\ \le\ |v|+|w|;]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;v\ w\in\mathbf C;]. Ponieważ  [;|-w|=|w|;],  to podobna nierówność zachodzi też dla różnicy:


        [;||v|-|w||\ \le\ |v-w|\ \le\ |v|+|w|;]