- [;0!:=1;]
- [;\forall_{n>0}\quad n!:=n\cdot(n-1)!;]
Dla [;\Delta(n);] nie widzę równie prostej definicji rekurencyjnej, w której występowałaby tylko jedna zmienna. Gdyby jednak pogodzić się z potęgowaniem, to można wprowadzić znacznie szybciej rosnącą funkcję [;\nabla(n);] dla [;n=1\ 2\ ...;], jakby silnię eksponencjalną:
- [;\nabla(1):=1;]
- [;\forall_{n>0}\quad \nabla(n):=n^{\nabla(n-1)};]
- wizualnie:
[;1\quad 2^1\quad 3^{2^1}\quad 4^{3^{2^1}}\quad 5^{4^{3^{2^1}}}\quad\dots;]
czyli
[;1\quad 2\quad 9\quad 262144\quad 5^{262144}\quad\dots;]
Matematycy nie są tak chciwi. Na ogół wolą prostotę, na przykład wieżę dwójkową [;w(n);], gdzie
- [;w(0):=1;]
- [;\forall_{n>0}\quad w(n):=2^{w(n-1));]
- wizualnie
[;1\quad 2\quad 2^2\quad 2^{2^2}\quad 2^{2^{2^2}}\quad 2^{2^{2^{2^2}}}\dots;]
czyli
[;1\quad 2\quad 4\quad 16\quad 65536\quad 2^{65536}\quad\dots;]
Chodziłem do 8 klasy razem z Julkiem Burginem, który podarował mi wtedy piękne polskie wydanie "Kalejdoskopu Matematycznego", Hugona Steinhausa. Steinhaus definiuje w nim ogromne liczby obrazowo (oryginalna była właśnie obrazowość, bo temat był poważnie rozwinięty wcześniej, przez logików, w kontekście teorii funkcji rekursywnych i obliczalności). Zaczyna Steinhaus od [;n;] narysowanego w trójkącie, co definiuje, jako [;n^n;]. Ja jednak piszę [;\Delta(n);]. Następnie definiuje/rysuje Steinhaus [;n;] wewnątrz kwadratu, co - Steinhaus mówi nam - oznacza to samo, co [;n;] narysowane w [;n;] trójkątach (dostajemy trójkątną cebulę). Będę tu pisał [;\square(n);]. Zatem
- [;\square(2) = \Delta(\Delta(2)) = \Delta(4) = 256;]
- [;\square(3) = \Delta(\Delta(\Delta(3))) = \Delta(\Delta(27)) = \left(27^{27}\right)^{27^{27}};]
- itd. :-)
Widzimy, że funkcja [;\square(n);] rośnie całkiem żwawo. Steinhaus na tym nie poprzestaje. Mógłby z kolei wprowadzić n w pięciokącie, potem w sześciokącie, ... Zlenił się, i poprzestal na następnym kroku, jako, że chodziło mu tylko o edukację wstępną i rozrywkę. Zatem nie mówi o pięciokącie, lecz o kółku/okręgu. Tak więc definuje [;n;] w kółku, jako [;n;] narysowane w [;n;] kwadratach. Będę pisał [;\bigcirc(n);]. Na przykład:
[;\bigcirc(2) = \square(\square(2)) = \square(256) = \dots;]
koszmar! :-) Mamy bowiem 256 w 256 trójkątach, czyli [;256^{256}=65536;] w 255 trójkątach, czyli [;65536^{65536};] w 254 trójkątach, itd. itd. itd. ...
