Wstęp
Wspomnę od ręki kilka tematów, którymi chciałem zainteresować także innych internautów. I dalej chcę.
Muszę smętnie zauważyć, że ograniczenia oprogramowania internetowego praktycznie wykluczyły dla mnie sporą część matematyki, gdy chodziło mi o rozmowy grupowe.
Każdy temat poniżej wprowadzę ogólnie (trochę ponudzę), po czym napiszę kilka słów konkretnie.
Gry
Od samego początku zajmowania się matematyką odczuwałem silne powiązanie matematyki i gier. Walkę o dowód odczuwałem jako grę przeciwko naturze. Dlatego swój pierwszy oryginalny wynik (1959/60), który w pierwszym wydaniu sformułowałem klasycznie, szybko przeformułowałem zgodnie z tym, jak go uzyskałem, jako zwycięstwo w pewnej grze, i w takiej formie posłałem go na konkurs imienia Marcinkiewicza (1961).
Zysk ze sformułowania wyniku w postaci gry jest następujący: klasyczne sformułowanie jest jakby zwycięstwem przeciwko jednej strategii przeciwnika, podczas gdy często można pokazać, że się wygrywa przeciwko dowolnej strategii przeciwnika. Wtedy otrzymuje się znacznie lepsze twierdzenie. Skupiając się potem na szczególnie ciekawych strategiach przeciwnika, otrzymuje się wtedy dodatkowe wyniki matematyczne.
Chociaż zawsze wymyślałem różne gry, to promowałem przede wszystkim gry innych. W szczególności "wyścigi samochodowe" z artykułu Gardnera (nie wiem, kto tę grę wymyślił), oraz grę Fajtlowicza o podciągach monotonicznych, opartą na twierdzeniu Erdosa. Tę ostatnią zaadoptowałem dla edukacji, nawet kilka wariacji. Gry w oparciu o twierdzenia matematyczne wprowadzało wcześniej wielu autorów. Ulam proponował rysować w 3D łamaną, aż się zamknie. Jeden z graczy wygrywa, gdy otrzymana krzywa zamknięta nie jest zawęźlona, a drugi, gdy jest. Inne gry, szereg, były oparte na twierdzeniu o punkcie stałym dla domkniętego koła (lub kwadratu), lub raczej na równoważnych twierdzeniach rodu z teorii wymiaru. Itd.
Czysto kombinatoryczna jest gra, na nieskończonej płaszczyźnie pokratkowanej, w powieszanego do 5. Każdy matematyk odruchowo zauważy i udowodni, że pierwszy gracz nie ma prawa przegrać, chyba że jest jołopem (żartuję, pół na pół). Zdaje się, że ktoś w końcu dowiódł, że przy poprawnej grze wynik jest remisowy (czy jest o tym w Internecie??? - chyba tak). Zatem w praktyce wygra długowieczny.
To była głównie pre-internetowa dygresja. W Internecie przedstawiłem trochę gier, bez większego echa. Przez pewien czas aktywnie z Julem Wnorowskim prowadziliśmy Google site Gry. Każdy z nas proponował swoje gry, nawet trochę graliśmy, choć niewiele (z braku czasu). Na buzzie też parę gier przedstawiłem, ale głownie zainteresował się nimi... Jul! :-)
Jedną z gier, którą stworzyłem, a Jul mnie ogrywał bezlitośnie, korzystała ze skończonej płaszczyzny afinicznej. Najlepiej się gra, gdy liczba punków na prostej jest liczbą pierwszą powiedzmy 5 albo 7, może nawet 11. Dla 7 gra jest już ciekawa. Na pewno warto w nią grać z dziećmi! - bardzo. Płaszczyznę afiniczną można przedstawić jako dyskretny kwadrat:
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *
Prostymi są linie poziome, pionowe, i uogólnione przekątne, zawijane - na przykład:
* * # * *
* # * * *
# * * * *
* * * * #
* * * # *
albo
* * * # *
* # * * *
* * * * #
* * # * *
# * * * *
Gracze na przemian wykreślają wszystkie wcześniej nieskreślone punkty leżące na jednej prostej, przy czym należy wykreślić co najmniej dwa różne punkty. Kto nie będzie miał ruchu, ten przegra - czyli wygrywa ten, który po sobie pozostawi nie więcej niż 1 punkt. Jeżeli kogoś to zainteresuje, to mogę podać dokładniejszy opis (lub zajrzyjcie do site Jula ze mną). A gdyby ktoś przy okazji poczytał sobie o skończonych płaszczyznach afinicznych i rzutowych, to już w ogóle byłoby cudownie.
Granie w płaszczyznach rzutowych nie wniosłoby niczego nowego. Ale możnaby też grać w wykreślanie prostych lub hiperpłaszczyzn wyższego wymiaru (z oczywistą modyfikacją przepisu o legalności ruchu i o wygranej) w wyżej wymiarowych przestrzeniach; lub w ogóle w wykreślanie innych rodzin zbiorów. Płaszczyzna afiniczna wydaje się do grania być bardzo praktyczna.
Teoria Ramseya
Jest to rozległy i nieostro zarysowany temat matematyczny. Ciekawy wariant zaproponował swojego czasu Jan Mycielski (bez publikowania), i zajmowałem się jego wersją z przyjemnością. Elementy ramseyowskie występują na przykład w teorii liczb. Klasycznie jednak przede wszystkim w teorii grafów. Gdy chodzi o dokładne wyniki, możliwe obecnie w zasadzie tylko dla małych parametrów, to jednym z czołowych ekspertów jest Stanisław Radziszowski, i właśnie on gromadzi i edytuje tablice rekordów światowych (w tym absolutnych). Dawniej swoje tablice udostępniał on-line. Teraz ten dawny link mnie zawiódł, ale odnalazlem nowy. Tyle, że tablice trzeba sobie ściągnąć w pdf lub czymś podobnym:
Small Ramsey numbers
Przypadki najmniejszych parametrów opisywałem dokładnie na Poland-L, a potem pod psem (czyli na pl.sci.matematyka). Gdyby było zainteresowanie (gdzie jest Artur P ?!?!!!), to bym przedstawił te początkowe wyniki teorii Ramseya także na buzzie. Dawniej w pewnym momencie zatrzymywałem się, bo dalej już pójść nie potrafiłem. Ciekawe, czy teraz ktoś na buzzie zaszedłby dalej. Nawet nie wiem, czy ktokolwiek kiedykolwiek uzyskał dalsze wyniki bez komputera. Zresztą można zastanawiać się także nad ekstra zgrabnym zastosowaniem komputerów. Rekordy jednak są wyśrubowane, bodajże wymagają olbrzymich danych, dotyczących grafów. Gdy Stanisław usłyszał, że zainteresowałęm się Ramseyem, to z miejsca przyjacielsko ofiarował mi swoje własne, przecież na pewno z trudem uzyskane, dane. Jednak nie miałem systemu komputerowego, który by obiecywał sukces w tak zaawansowanej konkurencji, więc jednak Stanisławowi głowy przesyłaniem mi danych nie zawracałem.
Żeby pisać przystępnie, będę rozpatrywał relację znajmości, zamiast abstrakcyjnej. Zakładam, że relacja znajomości jest symetryczna" - gdy Adam zna Ewę, to Ewa nie może zadzierać nosa, że nie zna Adama. Zakładam poniżej, że ludzie o których mówię albo znają się w obie strony, albo wcale.
Wśród 5 ludzi może się zdarzyć, że nie istnieje trójka, w której każdy zna każdego, ani nie istnieje trójka, w której nikt by nie znał nikogo innego - może nie być ani takiej trójki, ani takiej. Potraficie podać (wymyśleć fikcyjny) przykład?
Natomiast wśród dowolnych 6 ludzi zawsze istnieje trójka, w której każdy zna każdego, albo nikt nikogo innego. Ba, istnieją nawet zawsze 2 różne takie trójki (choć mogą być tego samego rodzaju).
Grupę ludzi, w której każdy zna każdego, nazywamy kliką; gdy nikt nikogo, to grupą obcych (w literaturze panuje brzydki, impotencki termin anty-klika). Tak więc wśród dowolnych 6 ludzi zawsze występuje 3-osobowa klika lub 3-osobowa grupa obcych.
Podobnie, wśród dowolnych 9 różnych ludzi zawsze występuje 3-osobowa klika lub 4-osobowa grupa obcych. Ogólnie nie jest tak dla 8 ludzi.
Itd. Czy ktoś się sfrustrował, że tak szybko te przykłady urwałem? To byłby dobry znak!
