Wstęp do liczb zespolonych, Cz. 0

Spis rzeczy

• Wstęp


• Zbiór liczb zespolonych


• Dodawanie i działania liniowe na liczbach zespolonych


• Mnożenie liczb zespolonych

WSTĘP

Liczby zespolone występowały w matematyce na różnym stopniu dojrzałości chyba ze dwieście lub więcej lat (warto sprawdzić), nim ostatecznie Gauss zdefiniował je z pełną ścisłością. Poniżej powtórzę jego definicję (być może z dokładnością do detali lub wysłowienia). Zakładam znajomość ciała liczb rzeczywistych [;\mathbf R;].

W niniejszej Części 0 wprowadzam liczby zespolone, ich dodawanie, odejmowanie i mnożenie. Pojęcie modułu liczby zespolonej oraz dzielenie liczb zespolonych omówię w Części 1.

Zbiór liczb zespolonych

Ciało liczb zespolonych od strony mnogościowej definiuje się jako płaszczyznę kartezjańską:

[;(I)\qquad\qquad\qquad \mathbf C := \mathbf R^2;]

Pewne trzy punkty tej płaszczyźny, czyli pewne liczby zespolone, oznaczamy następująco:

• [;\mathbf 0 := (0\ 0);]


• [;\mathbf 1 := (1\ 0);]


• [;\mathbf i := (0\ 1);]

Liczby zespolone postaci [;(a\ 0);] nazywają się zespolonymi liczbami rzeczywistymi (lub po prostu rzeczywistymi, co jest uproszczeniem i nieszkodliwym niechlujstwem), a w praktyce (na przykład inżynieryjnej) bez najmniejszych kłopotów utożsamia się zespolone liczby rzeczywiste [;(a\ 0);] z liczbami rzeczywistymi [;a;].

Historycznie, i do dziś, liczby postaci [;(0\ b);] nazywane są liczbami urojonymi, co oddaje uczucie tajemniczości i magii, przeżywanej przez wczesnych algebraików i amatorów, gdy się wypuszczali na nowe tereny matematyki, gdy okrężne drogi "rzeczywiste" zastępowali cudownymi skrótami przez świat "urojony".

Dodawanie i działania liniowe na liczbach zespolonych

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych definiuje się tak samo jak dla punktów (wektorow) płaszczyzny kartezjańskiej [;\mathbf R^2;]:

[;(II')\qquad\qquad (a\ b) + (c\ d) := (a\!+\!c\ \ b\!+\!d);]
[;(II')\qquad\qquad (a\ b) - (c\ d) := (a\!-\!c\ \ b\!-\!d);]

dla dowolnych  [;(a\ b)\ \,(c\ d)\ \in \mathbf C;].  W szczególności:

    [;\mathbf 0+z=z+\mathbf 0 = z-\mathbf 0 = z;]

dla dowolnego zespolonego  [;z\in\mathbf C;]. Dodawanie liczb zespolonych jest przemienne i łączne:

    [;v+w=w+v;]
    [;(v+w)+z=v+(w+z);]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;v\ w\ z;].

Ponadto, jak w przestrzeniach liniowych, których przykładem jest [;\mathbf R^2;], definiujemy także mnożenie liczb rzeczywistych przez zespolone:

[;(III)\qquad\qquad t\cdot (a\ b) := (t\!\cdot\!a\ \,t\!\cdot\!b);]

dla dowolnych  [;t\in\mathbf R;] oraz [;(a\ b)\in\mathbf C;].  Stąd, dla dowolnych rzeczywistych  [;a\ b\in\mathbf R;], otrzymujemy jednoznaczny rozkład na tak zwaną część rzeczywistą i urojoną:

• [;(a\ b) = a\cdot\mathbf 1 + b\cdot\mathbf i;]


• [;(a\cdot\mathbf 1 + b\cdot\mathbf i) + (c\cdot\mathbf 1 + d\cdot\mathbf i) = (a+c)\cdot\mathbf 1 + (b+d)\cdot\mathbf i;]
  

Definiujemy także liczbę zespoloną  [;-\!z;]  przeciwną do danej liczby  [;z:=(a\ b)\in\mathbf C;]:

[;(IV)\qquad\qquad -\!z := (-1)\cdot z;]

czyli

[;(IV')\qquad\qquad -(a\ b) = (-a\ -\!b);]

Na przykład:

• [;-\!\mathbf 1 = (-\!1\ 0);]


• [;-\!\mathbf i = (0\ -\!1);]

Zachodzi oczywisty wzór:

        [;-z = \mathbf 0-z;]

dla dowolnego zespolonego [;z;].

UWAGA 0   W praktyce, zamiast  [;a\cdot\mathbf 1+b\cdot\mathbf i;]  piszemy nieco prościej: [;a+b\cdot\mathbf i;],  co przy danym opisie liczb zespolonych jest wygodnym, ale lekkim niechlujstwem. Wszystko jedno będziemy, jak wszyscy, używać zapisu prostszego, który zresztą przy innych wprowadzeniach liczb zespolonych jest w stu procentach czysty, nieskazitelny. Według prostszej umowy, wzór wcześniejszy na dodawanie można zapisać tak:

        [;(a + b\cdot\mathbf i) + (c + d\cdot\mathbf i) = (a+c) + (b+d)\cdot\mathbf i;]

Mnożenie liczb zespolonych

Dla liczb rzeczywistych  [;x;],  zawsze  [;x^2 \ge 0;].  Z tego powodu nie istnieje liczba rzeczywista  [;x;],  ktora byłaby rozwiązaniem równania  [;x^2 = -1;]. Skoro nie było takiej liczby rzeczywistej, to algebraicy pomagali kiedyś sobie, nie przejmując się przesadnie formalnościami, wprowadzając liczbę "urojoną"  [;\mathbf i;], której kwadrat dawał  [;-1;].  Formalna definicja mnożenia dowolnych dwóch liczb zespolonych jest następująca:

[;(V)\qquad\qquad (a\ b)\cdot(c\ d) := (a\cdot c - b\cdot d\quad a\cdot d + b\cdot c);]

lub bardziej wizualnie:

[;(V')\qquad (a+b\cdot\mathbf i)\cdot(c+d\cdot\mathbf i) := (a\cdot c - b\cdot d)\ +\ (a\cdot d + b\cdot c)\cdot\mathbf i;]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;(a\ b)\ \ (c\ d);].  W szczególności:

[;(-)\qquad\qquad\qquad\mathbf i^2 = -\mathbf 1;]

ponadto zachodzą ogólne równości:

• [;\mathbf 1\cdot z = z\cdot\mathbf 1 = z;]


• [;w\cdot z=z\cdot w;]


• [;(u\cdot w)\cdot z=u\cdot(w\cdot z);]


• [;(u+w)\cdot z=z\cdot(u+w) = u\cdot z + w\cdot z;]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;u\ w\ z\in\mathbf C;].  Zauważmy też, że mnożenie liczb zespolonych przez rzeczywiste pokrywa się z mnożeniem liczb zespolonych przez odpowiednie zespolone liczby rzeczywiste:

[;(\bullet)\qquad\qquad t\cdot z = (t\cdot\mathbf 1)\cdot z;]

dla dowolnej liczby rzeczywistej [;t;] oraz zespolonej [;z;].