Dwa podejścia do geometrii - logiczne i grupowe. Cz 0.

Uwagi wstępne

Dla skupienia uwagi, będę pisał o płaszczyźnie zespolonej  [;\mathbf C;],  ale przedstawione idee będą znacznie ogólniejsze.

Słowo grupowe w tytule tego postu odnosi się do teorii grup, która to teoria jest częścią algebry. Dla zrozumienia niniejszego postu nie ma większej potrzeby znajomości podstaw teorii grup (ale co Wam szkodzi zajrzeć tu i tam :-).

Tytuł mówi o dwóch podejściach do geometrii. W przypadku płaszczyzny okaże się (w Cz 1), że są one równoważne. Będzie tak ze względu na wielką jednorodność płaszczyzny. Prawdziwe, zdrowe, klasyczne geometrie kochają jednorodność.

Podejście "logiczne"

Odległością  [;d(v\ w);]  pomiędzy dwoma liczbami (punktami) zespolonymi  [;v\ w\in\mathbf C;]  nazywamy moduł ich różnicy

                [;d(v\ w)\ :=\ |w-v|;]

(jest to zwykła odległość euklidesowa). Odtąd możemy rozwijać geometrię metryczną płaszczyzny  [;\mathbf C;].  Przez twierdzenia tej teorii rozumie się twierdzenia, które wyrażają się wyłącznie w terminach odległości. Takim twierdzeniem jest na przykład nierówność trójkąta:

        [;d(u\ v)+d(v\ w)\ \ge\ d(u\ w);]

dla dowolnych liczb zespolonych  [;u\ v\ w\in\mathbf C;].

Twierdzenia takie nazywa się niezmienniczymi. Nie występują w nich ani współrzędne punktów (popularnie nazywane  [;x\ y;] - chodzi o część rzeczywistą i urojoną), ani nie występują w nich konkretne liczby zespolone ani operacje algebraiczne ciała liczb zespolonych, jak  [;\mathbf 0\ \mathbf 1\ +\ -\ \cdot;].  

UWAGA  Znak dodawania, który wystąpił w nierówności trójkąta, to było dodawanie odległości, a nie punktów (liczb zespolonych). Może tu dojść do pewnych subtelnośći (komplikacji), ale znowu nie chcę się rozpraszać.

Powyższe określenie twierdzeń geometrycznych geometrzy używają intuicyjnie z łatwością, ale jednak budzi ono lekki niepokój. Tylko lekki. Nie jest to jeszcze definicja ścisła. Żeby ją uściślić, trzeba by się sporo i cierpliwie potrudzić, co chętnie uczyniliby logicy. Powiedziliby dokładnie co to znaczy, że twierdzenie wyraża się jedynie w terminach odległości, czyli że jest niezmiennicze. Geometrzy nie za bardzo potrzebują uściślenia. Gdy rozwijają geometrię, to wiedzą, że geometrię, wiedzą to i bez uściślenia. Na dodatek, oprócz twierdzeń ściśle geometrycznych (niezmienniczych) istnieją, i są ważne, twierdzenia analityczno-geometryczne. Na przykład, algebraicznym środkiem liczb zespolonych (punktów)  [;v\ w\in\mathbf C;] nazywamy punkt

        [;s(v\ w)\ :=\ \frac{v+w}{2};]

Natomiast ich geometrycznym środkiem nazywamy punkt  [;S(v\ w);], który spełnia warunek:

        [;d(v\ S(v\ w)) = d(S(v\ w)\ w) = \frac{S(v\ w)}{2};]

Nawet a priori nie wiemy, czy taka geometryczna definicja jest poprawna - a co jeżeli więcej niż jeden punkt spełnia podany warunek geometryczny? A może czasem żaden? Otóż twierdzenie mówi, że środek algebraiczny i geometryczny pokrywają się:

        [;S(v\ w)\ =\ s(v\ w);]

dla dowolnych punktów  [;v\ w\in\mathbf C;]. W szczególnośći środek geometryczny dwóch punktów zawsze istnieje, i tylko jeden. Ponieważ środek algebraiczny nie jest pojęciem a priori geometrycznym (zawiera dodawanie liczb zespolonych oraz dzielenie przez 2), to twierdzenie o równości środków nie jest (czysto) geometryczne, lecz jest analityczno-geometryczne. Takie twierdzenia są ważne na przykład jako narzędzia, gdyż pozwalają geometrze korzystać z algebry, a ta ma tendencję do bycia prostą i klarowną. Na przykład, zgodnie z twierdzeniem o środku geometrycznym i algebraicznym, odtąd możemy w twierdzeniach geometrycznych (niezmienniczych) korzystać "legalnie" ze środka algebraicznego, czyli z czegoś istotnego geometrycznie, a przy tym łatwego analitycznie. Ułatwia to znacznie rozwijanie geometrii.

Dla kontrastu, pojęcie dodawania liczb zespolonych  [;v+w;]  nie jest geometryczne, nie da się wyrazić czysto za pomocą wyłącznie odległości punktów. Matematyka potrafi zadziwiać. Po podzieleniu sumy przez 2 otrzymujemy pojęcie geometryczne. A algebraicznie prostsze wyrażenie samej sumy geometrycznym jednak nie jest. W tej chwili trudno byłoby nam tego dowieść, kupa żmudnej roboty, a nawet chyba nie widać dobrze jak się do tego zabrać, że suma nie jest geometryczna.

W następnej części przedstawię podejście grupowe. Wtedy na takie pytania będzie można odpowiadać rutynowo, na ogół z łatwością. Ponieważ podejście grupowe będzie równoważne z logicznym, to trudne dla podejścia logicznego pytania staną się łatwe. Byle zainwestować jednorazowo w podstawowe twierdzenie o równoważności dwóch podejść.